ruben stelzner

Zahlen in der Mathematik und Geometrie – Philosophie und Mathematik

Mathematik – Die Sprache der Natur

Die ältesten mathematischen Zeugnisse sind 4000 Jahre alt und stammen aus Nordägypten und dem heutigen Irak. Bemerkenswert ist, dass die Mathematik sich parallel und unabhängig in den unterschiedlichsten Gegenden und Kulturen der Welt entwickelt hat. Es gibt Quellen aus China, Europa, Nordafrika, dem Nahen Osten, Mittel- und Südamerika sowie Indien. Überall begeisterte man sich dafür. Das hat einen nachvollziehbaren Grund: Mit nichts anderem schienen sich die Vorgänge in der Natur so gut beschreiben zu lassen wie mit der Mathematik. Die Mathematik schien und scheint bis heute die Sprache der Natur zu sein. Alles folgt offensichtlich ihren Regeln. Die Menschen nutzten das Wissen darum, um zahlreiche Berechnungen zu machen und eigene Bauwerke zu erstellen. So weiß man, dass zum Beispiel die alten Ägypter beim Bau der ägyptischen Pyramiden weitführende mathematische Kenntnisse gehabt haben müssen (siehe auch Beitrag zu „Das besondere an Pyramiden“). Philosophie und Mathematik waren zu dieser Zeit noch untrennbar.

Am Anfang war die Zahl – eine Brücke zwischen Philosophie und Mathematik

Heutzutage haben wir weltweit eine einheitliche Mathematik und vor allem auch ein einheitliches Zahlensystem. Der Ursprung der von uns heutzutage verwendeten Zahlen (1, 2, 3, …) liegt in Nordindien. Zahlen sind das Grundstrukturelement der Mathematik. Heutzutage lässt sich nahezu alles mit ihnen ausdrücken und berechnen. Nicht nur die Vorgänge unserer Natur, sondern nahezu der gesamte Kosmos. Die Zahlen sind eine Art „Programmiersprache der Welt“. Es gilt bis heute in Fachkreisen als ein Phänomen, dass den Zahlen eine solche Bedeutung innerhalb der Prozesse unserer Welt zukommt.

„Zahlen haben, so können wir das bisher Gesagte zusammenfassen, insgesamt eine große Bedeutung. Sie sind ein Schlüssel zur Welt.“
(Albrecht Beutelspacher)

Bis heute wird auch darüber gestritten, ob die Zahlen Bestandteil unserer Welt sind oder von Menschen erfunden wurden. Letztlich erscheinen die Debatten darüber aber wenig bedeutsam, denn alle Wissenschaftler sind sich darin einig, dass sie das beste Mittel sind, um die Natur zu beschreiben.

So wurden sie nicht nur zum Grundelement der Mathematik und der mit ihr verbundenen Geometrie, sondern zum Alphabet fast aller naturwissenschaftlicher Disziplinen. Sie finden sich in den Formeln der Physik, dem Periodischen System der Elemente der Chemie, den Berechnungen der Biologie und in vielem mehr.

Interessante Zahlen

In der heutigen Zeit erscheinen Zahlen häufig als rein formelle, inhaltlose Ziffern, mit denen sich zwar rechnen lässt, aber auch nicht mehr. Trotzdem lässt sich aber auch von strengen Naturwissenschaftlern nicht leugnen, dass viele von ihnen mit beeindruckenden, ja wundersamen, und teils sogar mystisch anmutenden Phänomenen verbunden sind. Das beginnt bereits mit der Bezeichnung einiger mit Zahlen verbundener Eigenschaften:

So gibt es beispielsweise sogenannte „vollkommene“ Zahlen. Das sind Zahlen, die die Summe ihrer Teiler bilden, wie zum Beispiel die Zahl 6 (1 + 2 + 3 = 6). Dann gibt es die sogenannten hochzusammengesetzten Zahlen. Das sind Zahlen, die die Eigenschaft haben, viele Teiler zu besitzen, wie beispielsweise die 12, die sechs Teiler hat (1, 2, 3, 4, 6, 12). Oder das Quersummenphänomen, das die Eigenschaft der Zahl 9 beschreibt, sich bei der Ermittlung einer Quersumme stets neutral zu verhalten (Quersumme 42 = 6; Quersumme 429 = 15 = 6). Dass bestimmte Zahlen solche Eigenschaften besitzen, kann man feststellen und berechnen, aber es scheint keinen Grund dafür zu geben. Manche Phänomene muten deutlich mysteriöser an, da hier Zahlenkombinationen ganz offensichtlich mit sehr besonderen Eigenschaften verbunden sind. Die sogenannten „magischen Quadrate“ tragen dies bereits im Namen. Magische Quadrate sind Zahlenanordnungen in quadratischer Form, in der jede senkrechte, waagerechte und diagonale Linie addiert das gleiche Ergebnis ergibt. Das einfachste magische Quadrat besteht aus neun Feldern und die Summe ist stets 15.

Die Reihe der bemerkenswerten Zahlen mit besonderen, häufig unerklärlichen Eigenschaften, lässt sich unendlich fortsetzen: Warum haben Primzahlen eine so universelle Rolle in der Mathematik – aber lassen sich nicht durch eine Formel berechnen? Wieso ist es ausgerechnet die Zahl Pi, die den Kreis so charakteristisch beschreibt?

Zahlen und Botschaften

In der Geometrie, die einen zentralen Teil der Mathematik ausmacht, finden sich weitere zahlreiche außergewöhnliche Eigenschaften, die mit Zahlen in Zusammenhang stehen und einen besonderen Einfluss innerhalb der Natur unserer Welt haben. Genannt sei das Phänomen der Symmetrie, das wir überall wiederfinden und welches in engem Zusammenhang mit dem Prinzip „Schönheit“ steht. Eine weitere berühmte Proportion ist die des goldenen Schnittes, der vielfach als „göttliche Proportion“ beschrieben wurde, weil er nicht nur häufig in den Formen der Natur vorkommt, sondern ebenfalls mit dem menschlichen Schönheitsempfinden in Zusammenhang steht. Darüber hinaus stellen er und die mit ihm in Verbindung stehende Fibonacci-Folge ein universell vorkommendes Wachstumsmuster innerhalb des Lebens dar. (vgl. auch Beitrag „Zahlen in der Natur“ und www.golden-section.eu). Weiter bekannt sind der „Satz des Pythagoras“, der als heilige Proportion bei den frühen Philosophen galt (siehe auch Beitrag „Zahlen in der Philosophie“) oder die Platonischen Körper, die für Platon die Elemente darstellten, aus denen sich die Welt zusammensetzt.

Die Geometrie erregte nicht nur bei den alten Philosophen und frühen Mathematikern eine große Aufmerksamkeit, auch in den modernen Naturwissenschaften ist die Faszination für ihre Phänomene ungebrochen. Sowohl in den kleinsten Sphären der Quarks, als auch in den unendlichen Weiten der Galaxien finden sich unzählige geometrische Besonderheiten. Während Symmetrien seit Jahrtausenden bekannt sind, sind in den letzten Jahren neue Geometrien aufgetaucht, die eine bedeutende Rolle in der Natur zu spielen scheinen. So zum Beispiel Fraktale, also selbstähnliche Formen, die sich nicht nur universell in den verschiedensten Bereichen wiederfinden, sondern aus denen sich auch zahlreiche praktischen Anwendungen wie beispielsweise in der Technik, der Medizin oder der Meteorologie ableiten lassen.

„Vermutlich ist nicht jede Zahl interessant, aber viele haben einen ausgeprägten Charakter, und unter den kleinen Zahlen sind es besonders viele.“
(Albrecht Beutelspacher)

Zahlen finden sich also nicht nur überall wieder, sie tauchen auch in Verbindung mit bestimmten Eigenschaften immer wieder auf. So gerne man der harten Naturwissenschaft folgend die formelle Seite der Zahlen von einer inhaltlichen trennen mochte, so schwierig erweist sich dies. Mit Zahlen werden Inhalte geradezu vermittelt. Philosophie und Mathematik lassen sich nicht voneinander trennen. Zahlen sind Träger von Botschaften. Dies zeigt sich nicht nur anhand von Benennungen wie „magisches Quadrat“ oder „vollkommene Zahl“, die Verbundenheit von Quantität und Qualität findet sich immer wieder. So besagt zum Beispiel die bekannte „Oktettregel“ in der Chemie, dass Atome danach streben, acht Elektronen in ihrer äußeren Elektronenschale zu haben – so wie die Edelgase, die besonders stabil sind. Das Phänomen der 8 steht damit in direkter Verbindung zur Eigenschaft „Stabilität“. Diese Verknüpfung herzustellen zwischen Quantität und Qualität ist gemäß den heutigen naturwissenschaftlichen Vorgaben nicht korrekt, aber der Zusammenhang lässt sich nicht bestreiten. Ebenso verhält es sich mit physikalischen Begriffen wie der Singularität (abgeleitet von 1), die im Zusammenhang mit dem Urknall steht und das beschreibt, woraus die Welt entstanden ist – also das, was zuerst da war. Dabei fällt auf, dass die 1 nicht nur als inhaltslose Ziffer Verwendung findet, sondern vor allem als Botschaft des Ersten. All diese Phänomene zeigen, dass sich die formelle Seite der Zahlen nicht von einer qualitativen trennen lässt.

„…die Annahme liegt nahe, daß es praktisch keine Grundzahl gibt, die nicht von Anbeginn des Zahlen- und Rechnungswesens in irgendeiner Kultur eine besondere symbolische Bedeutung besessen hätte.“
(Harald Haarmann)

Die Grenzen der Mathematik

Strenge Mathematiker und hartgesottene Naturwissenschaftler waren sich lange sicher, dass eine symbolische Seite der Zahlen unwissenschaftlich sei und in den Bereich des Glaubens gehört, während die rein formelle Seite dagegen objektiv und widerspruchsfrei sei. Diese Überzeugungen widerlegte allerdings Kurt Gödel in den 1930er-Jahren mit seinen zwei Unvollständigkeitssätzen. Er entdeckte, dass alle Erklärungen für mathematische Systeme unbeweisbare Aussagen enthalten. Außerdem zeigte er, dass keines der Systeme jemals seine Widerspruchsfreiheit beweisen kann. Die Hoffnung der Mathematiker, alle mathematischen Sätze final beweisen zu können, wurde zerstört. Dies war ein revolutionärer Schlag für das Ziel, Mathematik völlig „sicher und vollständig“ zu machen. Fortan war klar, dass die formelle Mathematik genauso wenig beweisbar war wie eine inhaltliche Betrachtung der Zahlen.

„Eine Gleichung hat für mich keinen Sinn, wenn sie nicht den Gedanken an Gott ausdrückt.“
(Srinivasa Ramanujan)

Neue Ansätze

Nicht zuletzt aufgrund dieser Erkenntnisse wächst die Anzahl der Forscher, die sich wieder einer Metamathematik zuwenden. Ziel ist, die Grundlagen, Strukturen und Regeln der Mathematik aus einem übergeordneten Blickwinkel wieder besser zu verstehen. Eine ganzheitliche Betrachtung des Phänomens Zahlen und Mathematik wird teilweise wieder moderner – auch unter reinen Naturwissenschaftlern. Das Zusammendenken von quantitativer und qualitativer Seite drängt sich immer weiter auf.

Für den bekannten Physiker und Nobelpreisträger Roger Penrose sind sowohl die physikalische als auch die geistige Welt die Schatten von mathematischen Ideen. In diesem Sinn folgt er nach eigener Feststellung Platon, der Ideen als Urbilder definiert hat, die allen Erscheinungen vorausgehen. Penrose beschreibt damit, dass in der Mathematik auch Urideen verborgen sein könnten, die nicht nur bloße Berechnungen seien – im Gegensatz zu dem, wie wir Mathematik und Zahlen heutzutage verstehen. Damit wird deutlich, wie sehr Philosophie und Mathematik bis heute miteinander verflochten sind.

Der Philosoph Jacob Needleman fordert zu einer neuen Unvoreingenommenheit auf:

„Ich glaube, daß das Leben – jedes Lebewesen – ein Gedanke in der Zeit ist. Wenn das stimmt, muß es eine Mathematik geben, die das Leben ausdrückt. Nur weil die metaphysische Sprache der Zahlen schon von so vielen Okkultisten und selbsternannten Kabbalisten mißbraucht wurde, heißt das nicht, daß es keine Möglichkeit gibt, die präzisen und maßvollen Gesetze der bewußten Realität zum Ausdruck zu bringen.“
(Jacob Needleman)

Was meint Needleman mit einer „metaphysischen“ Seite der Zahlen? Wenn Zahlen nicht nur Ziffern sind, sondern auch Inhalte vermitteln, welche könnten das sein und zu welchen neuen Erkenntnissen führt uns das? Wie könnte eine Philosophie der Zahlen aussehen? Mehr dazu im Buch „Verlorene Weisheit“.

Bildnachweise:
iStock.com/mustafahacalaki (Platonische Körper), iStock.com/LagartoFilm (Zahlen auf grünem Hintergrund)